目录
高等数学考点汇编 ........................................................................................................................................ 2
第一章 极限和连续 ................................................................................................................... 2
第二章 一元函数微分学 .......................................................................................................... 4
第三章 一元函数积分学 .......................................................................................................... 7
第四章 空间解析几何 ............................................................................................................ 13
第五章 多元函数微积分学 ................................................................................................... 15
第六章 无穷级数 ..................................................................................................................... 18
第七章 常微分方程 ................................................................................................................. 20
1
高等数学考点汇编
第一章 极限和连续
【考点1】极限的三大性质
1.唯一性
2.局部保号性
3.局部有界性
【考点2】极限的四大运算法则
若
2
l i m f ( x ) = A , l i m g ( x ) = B ，那么
1. l i m f ( x ) g ( x ) = l i m f ( x ) l i m g ( x ) = A B
2. l i m f ( x ) g ( x ) = l i m f ( x ) l i m g ( x ) = A B
3. l i m
f
g
(( x
x
))
=
l i m
l i m
f
g
(( x
x
))
=
A
B
( B 0 )
4. l i m f ( x ) g ( x ) = l i m f ( x ) lim g ( x ) = A B ( A 0 )
【考点3】夹逼准则
若数列 x
n
, y
n
, z
n
满足 y
n
x
n
z
n
，且 ln i m→
y
n
= ln i m→
z
n
= a ，则数列 的
极限存在，且 ln i m→
x
n
= a
若函数 f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) 满足 g ( x ) f ( x ) h ( x ) ，且limg(x)=limh(x)= A，
则 l i m f ( x ) 存在，且lim f (x)= A
【考点4】无穷小量与无穷大量的比阶
是在同一自变量变化过程中的无穷小，且0
若lim =0，则是的高阶无穷小，记为=o()；
若
3
l i m
= ，则是的低阶无穷小；
若lim =c0，则是的同阶无穷小；
若 l i m 1
= ，则是的等价无穷小，记为 ~ ；
若 l i m
k
c 0 ( k 0 )
= ，则是的 k 阶无穷小。
【考点5】无穷小量的性质
无穷小乘有界函数仍为无穷小；
有限个无穷小的和仍为无穷小；
有限个无穷小的乘积仍为无穷小。
【考点6】两个重要极限
1. l i m
x → 0
s i n
x
x
= 1
2. l i m
x →
1 +
1
x
x
= e
【考点7】连续与间断
lim f (x)= f (x )
x→x 0
连续： 0
lim f (x)= lim f (x)= f (x )
x→x+ x→x− 0
0 0
若 f ( x
0
+ 0 ) , f ( x
0
− 0 ) 均存在，则 x
0
是第一类间断点
f ( x
0
+ 0 ) = f ( x
0
− 0 ) f ( x
0
) 时，x 为可去间断点
0
f ( x
0
+ 0 ) f ( x
0
− 0 ) 时， x
0
为跳跃间断点
若 f ( x
0
+ 0 ) , f ( x
0
− 0 ) 至少有一个不存在，则x 是第二类间断点
0
极限不存在且为无穷大时， x
0
为无穷间断点
极限不存在且为振荡时， x
0
为振荡间断点
第二章 一元函数微分学
【考点1】导数的概念与几何意义
f (x +x)− f (x ) f (x+x)− f (x)
增量式：f '(x )= lim 0 0 , f '(x)= lim （证明用）
0 x→0 x x→0 x
差值式：
4
f (' x
0
) = lx i→ m
x0
f ( x )
x
−
−
f
x
0
( x
0
)
（计算用）
切线方程： y − f ( x
0
) = f ' ( x
0
) ( x − x
0
)
法线方程： y − f ( x
0
) = −
f '
1(
x
0
)
( x − x
0
) ( f ' ( x
0
) 0 )
【考点2】导数的计算
C'=0 ( xa) '=axa−1 (sinx)'=cosx
(cosx)'=−sinx (tanx)'=sec2 x (cotx)'=−csc2 x
(secx)'=secxtanx (cscx)'=−cscxcotx ( ax) '=axlna
1 1
( ex) '=ex (log x)'= ( ln x ) '=
a xlna x
1 1 1
(arcsinx)'= (arccosx)'=− (arctanx)'=
1−x2 1−x2 1+x2
1 ( ( )) 1 ( ( )) 1
(arccotx)'=− ln x+ 1+x2 '= ln x+ x2 −1 '=
1+x2 1+x2 x2 −1
u u'v−uv'
(uv)'=u'v' (Cu)'=Cu' (uv)'=u'v+uv' '= (v0)
v v2
1.复合函数求导
2.反函数求导
3.隐函数求导
4.幂指函数求导
5.参数方程求导
6.分段函数求导
7.高阶导数
【考点3】微分中值定理
5
f ( x ) 在 a , b 内连续， ( a , b ) 内可导，且 f ( a ) = f ( b ) ，则
( a , b ) ，使得 f ' ( ) 0 . =
得 f ' ( )
f ( b )
b
f
a
( a )
. =
−
−
【考点4】洛必达法则
若 lx i→ m
x0
f ( x ) = 0 ( / ? ) , lx i→ m
x0
g ( x ) = 0 ( ) ， f ( x ) , g ( x ) 在点 x
0
的某去心邻域内可
导，且 lx i→ m
x0
f
g
( '
( '
x
x
)) f (x) f '(x)
存在或为无穷大，则lim = lim
x→x g(x) x→x g'(x)
0 0
【考点5】单调性与极值
1.单调性
设函数 y = f ( x ) 在 a , b 上连续，在(a,b)内可导
如果在 ( a , b ) 内 f (' x ) 0 ，且等号仅在有限个点成立，则 y = f ( x ) 在
上单调递增；
如果在 ( a , b ) 内 f (' x ) 0 ，且等号仅在有限个点成立，则 y = f ( x ) 在
上单调递减；
2.极值
f ( x ) 在x= x 处连续，且在x 的某去心邻域内可导
0 0
若x(x −,x )时， f '(x)0，
0 0
x ( x
0
, x
0
) + 时， f '(x)0，则x 为极小值点
0
若 x ( x
0
, x
0
) − 时， f (' x ) 0 ， x ( x
0
, x
0
) + 时， f (' x ) 0 ，则x 为极大值点
0
【考点6】凹凸性与拐点
1.凹凸性
设
6
y = f ( x ) 在 a , b 上连续，在 ( a , b ) 内二阶可导
若 f ( '' x ) 0 ，则称 y = f ( x ) 为凹函数；若 f ( '' x ) 0 ，则称 y = f ( x ) 为凸函数
2.拐点
若 f ( x ) 在 x
0
处连续，在 x
0
的某去心邻域二阶可导， f '' ( x ) 在点 ( x
0
, f ( x
0
) )
两侧变号（ f '(x)单调性相反），则点 ( x , f (x )) 为
0 0
y = f ( x ) 的拐点
【考点7】曲线的渐近线
1.铅直渐近线：若 l i
x →
( x →
(
x →
mx0
+ x0−
x0
))
f ( x ) = ，则x= x 为一条铅直渐近线
0
2.水平渐近线：若 l i m
x →
f ( x ) = b ，则 y = b 为一条水平渐近线
第三章 一元函数积分学
【考点1】原函数与不定积分的概念
7
F ( x ) 在区间 I 上可导，而且对xI ，都有F'(x)= f ( x )
或 d F ( x ) = f ( x ) d x ，则称函数 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间I 上的一个原函数
2.原函数存在定理
① 连续函数必有原函数
② 含有跳跃、可去、无穷间断点的函数一定没有原函数
③ 含有震荡间断点的函数可能有也可能没有原函数
3.原函数之间的关系：如果 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，则 F ( x ) + C 也是 f ( x ) 的
原函数，其中 C 为任意常数，这说明，原函数若存在，不唯一。
4.不定积分的概念：在区间 I 上，函数 f (x)的全体原函数称为 f ( x ) 的不定积分，
记作 f ( x ) d x ，即
f (x)dx=F(x)+C
其中 F ( x ) 是 f ( x ) 在区间 I 上的一个原函数； 称为积分号； f ( x ) 称为被积函
数， f (x)dx称为被积表达式；x称为积分变量
【考点 2】不定积分的性质
① 数乘： k f ( x ) d x = k f ( x ) d x （k为常数）
② 分项：f (x)g(x)dx= f (x)dxg(x)dx
③ 线性运算： k f ( x ) l g ( x ) d x = k f ( x ) d x l g ( x ) d x （k,l为常数）
④ 先积后导： f ( x ) d x
'
= f ( x ) , d f ( x ) d x = f ( x ) d x
⑤ 先导后积：F'(x)dx=F(x)+C,dF(x)=F(x)+C
【考点 3】不定积分基本公式
8
k
s
c
a
c
a
d x
i n
o t
x d
s c
a
x
2
= k x
x d x =
x d x =
a
x =
l n
2 x d x
1
2 2 − x
1
2 2 − a
1
d
2 − x
+ C
− c o s x +
l n s i n x
x
+ C
a
= − c o t x
d x = a r c
d x = l n
1
x = l n
2 a
C
+ C
+ C
s i n
x +
a
a
x
a
+
−
+
x
x
x
k + 1 x
( k x d x = + C k
k + 1
c o s x d x = s i n x + C
s e c x d x = l n s e c x +
x x e d x = e + C
s e c x t a n x d x = s e c
C
2 2 − a + C
a
+ C
x
) − 1
t a n x
+ C
1
2 a +
1
2 2 + x
2 a − x
+
x
d
2
C
2
x
d
d
=
x
1
d x = l n
x
t a n x d x =
c s c x d x =
2 s e c x d x =
c s c x c o t x
(
x = l n x +
1 x
a r c t a n
a a
2 a
= a r c s i n
2
x +
− l n
l n c
t a n
d x =
2 a +
+ C
x
+
a
C
c
s c
x
−
x
x
2
o s x
x −
+ C
c s c
)
2 +
2 a
+ C
c o t
x +
C
− x
x
C
2 +
+
C
C
【考点 4】换元积分法
1.第一类换元积分法（凑微分法/假的换元）
f ( x ) ' ( x ) d x f ( x ) d ( x ) ( x ) t f ( t ) d t F ( t ) C F ( x ) C = ⎯ ⎯ =⎯ → = + = +
2.第二类换元积分法（真正的换元）
f ( x ) d x x ( )t f ( t ) ' ( t ) d t
t 1 ( x )
⎯ ⎯ = ⎯ →
= −
① 三角代换：当被积函数中含有根号下平方和差时，使用三角代换
a 2 x 2 x a s i n t
2
t
2
− =
−
； a 2 x 2 x a t a n t
2
t
2
+ =
−
；
x2 −a2 x=asect(0t )
② 复杂部分代换：当被积函数出现比较复杂的根式、指数、对数、反三角函数
可直接把复杂部分整体换元
1
③ 倒代换：当被积函数分子次数明显低于分母次数时使用倒代换，令x=
t
【考点 5】分部积分法
设函数
9
移项得 u v ' = ( u v ) '− u ' v ，两边积分得
ss u v ' d x = ( u v ) 'd x − u ' v d x u d v = u v − v d u
当被积函数出现以下六种情况，均可使用分部积分
① 幂ⅹ指，指数函数当成 v ； ② 幂ⅹ对，幂函数当成 v ；
③ 幂ⅹ三角，三角函数当成v； ④ 幂ⅹ反三角，幂函数当成v；
⑤ 指ⅹ三角，两次分部积分构成一个循环，指数函数与三角函数均可当成 v ，但
⑥ s e c 2 k + 1 x / c s c 2 k + 1 x ，将 s e c 2 x / c s c 2 x 放到后面，把tanx/cotx当成 v
【考点 6】有理函数积分法
有理函数（有理分式）是指由两个多项式的商所表示的函数，形如：
P
Q
n
m
(( x
x
))
=
a
b
0
0
+
+
a
b
x
1x
1
+
+
a x
1
b x
2
2
2
+
+
a
b
n
m
x
x
n
m
若有理函数为假分式，对分子提取分母降幂变成真分式；
若有理函数为真分式，分母为 0 无解时，先消 x 在配方；分母为 0 有解时，部
分分式展开（求参数的方法一般有待定系数法、取特殊值、留数法）
【考点 7】定积分的定义与几何意义
1.定积分的几何意义
b f (x)dx表示曲边梯形面积的代数和，它仅仅表示一个数
a
2.定积分的性质
① a f (x)dx=0； ② b f (x)dx=− a f (x)dx；
a a b
③
10
b
a
1 d x = b − a ； ④ b
a
f ( x ) g ( x ) d x b
a
f ( x ) d x b
a
g ( x ) d x + = + ；
⑤ 区间的可加性： b
a
f ( x ) d x = c
a
f ( x ) d x + b
c
f ( x ) d x ；
⑥
x
x
a
a
,
,
b
b
,
,
f
f
(
(
x
x
)
)
0
g
( x
)
b
a
f ( x
b
a
)
f
d x
( x
) d
0
x b
a
g ( x ) d x
；
⑦ b
a
f ( x ) d x b
a
f ( x ) d x ；
⑧ 如果函数 f ( x ) 在 a , b 上连续，则 f ( x ) 存在最小值 m ，最大值 M ，且
m ( b − a ) b
a
f ( x ) d x M ( b − a )
b
a
f ( x ) d x f ( ) ( b a ) = −
b f (x)dx= f ()(b−a)
a
a , b ，使得
b
a
f ( x ) g ( x ) d x f ( ) b
a
g ( x ) d x =
柯西不等式：如果函数 f ( x ) , g ( x ) 在 a , b 上连续，则
b
a
f ( x ) g ( x ) d x
2
b
a
f 2 ( x ) d x b
a
g 2 ( x ) d x
【考点 8】变限积分函数与牛顿莱布尼兹公式
2.变限积分函数
设函数 f ( x ) 在 a , b 上连续，对任意的xa,b ， f ( x ) 在 a,x 上可积，由此
F(x)= x f (t)dt
a
这个函数称为变限积分函数或变上限积分函数
11
f ( x ) 在 a , b 上连续，则变限积分函数 x
a
f ( t ) d t
可导，并且其导函数为
F (' x ) = x
a
f ( t ) d t ' = f ( x )
( ) x 2
( ) x
1
f ( t ) d t f
2
( x )
2
' ( x ) f
1
( x )
1
' ( x )
= −
设函数 f (x)在a,b上连续，则变限积分函数 x
a
f ( t ) d t 就是 f (x)在a,b上的一
个原函数
的一个原函数，则
b
a
f ( x ) d x = F ( x ) b
a
= F ( b ) − F ( a )
【考点 9】反常积分敛散性的判别
1.区间无限的反常积分敛散性的判别
② 比较判别法：设 f ( x ) , g ( x ) 在 a , + ) 连续，且 0 f ( x ) g ( x )
若 +
a
g ( x ) d x 收敛，则 +
a
f ( x ) d x 收敛；
若 +
a
f ( x ) d x 发散。则 +
a
g ( x ) d x 发散
③ 极限判别法：设 f ( x ) , g ( x ) 在a,+)连续，g(x)0，
lx i m
f
g
(( x
x
))
=
→ +
若 0 + ，则 +
a
f ( x ) d x 与 +
a
g ( x ) d x 同收同发；
若=0， + g(x)dx收敛时， + f (x)dx收敛；
a a
若=+， +
a
g ( x ) d x 发散时， +
a
f ( x ) d x 发散
2.被积函数无界的反常积分敛散性的判别
② 比较判别法：设
12
f ( x ) , g ( x ) 在 a , b ) 连续，b为 f ( x ) 的瑕点，且 0 f ( x ) g ( x )
若 b
a
g ( x ) d x 收敛，则 b
a
f ( x ) d x 收敛；
若 b
a
f ( x ) d x 发散。则 b
a
g ( x ) d x 发散
③ 极限判别法：设 f ( x ) , g ( x ) 在 a , b ) 连续， b 为 f ( x ) 的瑕点， g ( x ) 0 ，
lx i m
b
f
g
(( x
x
))
=
→ −
若存在且不为 0 ，则 b f (x)dx与 b g(x)dx同收同发；
a a
若存在且为 0 ， b
a
g ( x ) d x 收敛时， b
a
f ( x ) d x 收敛；
若不存在， b g(x)dx发散时， b f (x)dx发散
a a
【考点 10】定积分的几何应用
1.直角坐标下的不规则区域面积
y = f ( x ) , x = a , x = b 与 x 轴围成的区域的面积为 b
a
f ( x ) d x ；
y = f
2
( x ) , y = f
1
( x ) （其中 f
2
( x ) f
1
( x ) ）与直线 x = a , x = b 围成的区域的面积为
b
a
f
2
( x ) − f
1
( x ) d x ；
2.旋转体的体积
（1）y= f (x),x=a,x=b与 x 轴围成的区域绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积
b f 2(x)dx；
a
（2） y = f ( x ) , x = a , x = b 与 x 轴围成的区域绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积
2 b
a
x f ( x ) d x ；
（3） y = f ( x ) , x = a , x = b 与x轴围成的区域绕x=c轴旋转一周所成的旋转体的
体积2 b c−x f (x)dx；
a
第四章 空间解析几何
【考点1】空间平面与直线
1.空间平面：法向向量
13
n = ( A , B , C )
一般式： A x + B y + C z + D = 0
点法式： A ( x − x
0
) + B ( y − y
0
) + C ( z − z
0
) = 0
截距式：
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1
2.空间直线：方向向量s=(l,m,n)
一般式：
A
A
1
2
x
x
+
+
B
B
y
1
y
2
+
+
C
C
1
z
2
z
+
+
D
D
1
=
2
=
0
0
点向式：
x −
l
x
0 =
y −
m
y
0 =
z −
n
z
0
参数式：
x
y
z
=
=
=
x
y
z
0
0
0
+
+
+
l t
m
n t
t
【考点 2】空间曲线与曲面
1.一般式： :
F
G
(
(
x
x
,
,
y
y
,
,
z
z
)
)
=
=
0
0
2.参数方程： :
x
y
z
( ) t
( ) t
( ) t
, t t1 , t
2
=
=
=
3.空间曲线投影： :
F
G
(
(
x
x
,
,
y
y
,
,
z
z
)
)
=
=
0
0
，消去z得
H
z =
( x
0
, y ) = 0
是曲线在xOy平面
的投影方程，其他投影相类似
4.旋转曲面： C :
f
y
(
=
x ,
0
z ) = 0
绕 z 轴旋转的旋转曲面方程为 f
(
x 2 + y 2 , z
)
= 0 ，
其他旋转类似
5.几个特殊的曲面
x2 y2 z2 x2 y2 z2
椭球面： + + =1 单叶双曲面： + − =1
a2 b2 c2 a2 b2 c2
双叶双曲面：
14
x
a
2
2
−
y
b
2
2
−
z
c
2
2
= 1
x2 y2
椭圆抛物面： + = z(p,q0)
2p 2q
椭圆锥面：
x
a
2
2
+
y
b
2
2
=
z
c
2
2
第五章 多元函数微积分学
【考点1】偏导数与可微的概念
1.偏导数的概念
z f (x +x,y )− f (x ,y ) f (x,y )− f (x ,y )
= f'(x ,y )= lim 0 0 0 0 = lim 0 0 0
x x=x 0 x 0 0 x→0 x x→x 0 x−x 0
y=y
0
z f (x ,y +y)− f (x ,y ) f (x ,y)− f (x ,y )
= f'(x ,y )= lim 0 0 0 0 = lim 0 0 0
y x=x 0 y 0 0 y→0 y y→y 0 y−y 0
y=y
0
2.可微的等价定义
15
l i
x →
y →
m
x0y
0
f ( x , y ) − f (
(
x
0
x
,
−
y
0
x
)
0
−
2 )
A
+
(
(
x
y
−
−
x
y
0
0
)
)
−
2
B ( y − y
0
)
= 0
3.连续、可偏导、可微、连续可偏导的关系
连续 可偏导
可微
连续可偏导
【考点 2】链式求导法则
设 z = f ( u , v , w ) , u = u ( y ) , v = v ( x , y ) , w = w ( x ) ， u , v , w 称为中间变量， x , y 称
为真正的自变量，z为因变量，其链式关系为
u x
z v
w y
z z v z dw z z du z v
则 = + ， = +
x v x w x y u y v y
【考点 3】隐函数存在定理
定理1：设函数
16
F ( x , y ) 在点 ( x
0
, y
0
) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且
= 0 , F 'y ( x
0
, y
0
) 0
F ( x
0
, y
0
)
，则方程 F ( x , y ) = 0 在点 ( x
0
, y
0
) 的某一邻域内能唯一确定一个
0
= f ( x
0
) ，且有
d
d
y
x
= −
F
F
'x'y
；
定理 2：设函数 F ( x , y , z ) 在点 ( x
0
, y
0
, z
0
) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且
F(x ,y ,z ) =0,F'(x ,y ,z )0，则方程F(x,y,z)=0在点(x ,y ,z )的某一邻
0 0 0 z 0 0 0 0 0 0
f ( x
0
, y
0
)
z
0
=
，且有
z
x
= −
F
F
'x'z
,
z
y
= −
F
F
'y'z
。
【考点 4】多元极值
① 求驻点
f
f
'x
'y
(
(
x
x
0
0
,
,
y
y
0
0
)
)
=
=
0
0
②
f
f
f
''
x x
''
x y
''y
y
(
(
(
x
x
x
0
0
0
,
,
,
y
y
y
0
0
0
)
)
)
=
=
=
A
B
C
A C − B 2
=
0
0
0
A
A
该
该
0
0
点
法
不
失
极
极
取
效
小
大
极
( 使
值
值
值
用 定 义 )
(
(
x
x
,
,
y
y
,
,
z
z
)
)
0
0
=
=
（等式）下的最值
① 构造辅助函数 F ( x , y , z , , ) f ( x , y , z ) ( x , y , z ) ( x , y , z ) = + + ；
② 令F' =F' =F' =F' =F' =0；
x y z
③ 解方程组，求出所有的可能的最值点，比较大小即可得到最值。
【考点 5】直角坐标系下的二重积分计算
1.先
17
x 后 y 型
设 D ( x , y )
1
( y ) x
2
( y ) , a y b = ，则
D
f ( x , y ) d x d y b
a
( ) y 2
( ) y
1
f ( x , y ) d x d y b
a
d y ( ) y 2
( ) y
1
f ( x , y ) d x
= =
2.先 y 后 x 型
设D= (x,y) c xd,(x) y (x) ，则
1 2
D
f ( x , y ) d x d y d
c
( ) x 2
( ) x
1
f ( x , y ) d y d x d
c
d x ( ) x 2
( ) x
1
f ( x , y ) d y
= =
3.混合型
将区域分成若干个“先 x 后 y 型”与“先 y 后 x 型”，再利用区域的可加性把所有
区域的二重积分相加即可
【考点 6】极坐标系下的二重积分计算
直角坐标与极坐标的变换：
x
y
r
r
c
s
o
i
s
n
=
=
， x 2 y 2 r 2 ,
y
x
t a n + = = ，d=rddr
设D= (r,),r ()rr () ，则
1 2
D
f ( x , y ) d x d y
D
f ( r c o s , r s i n ) r d r d d ( r2
( r1
)
)
f ( r c o s , r s i n ) r d r
= =
第六章 无穷级数
【考点1】正项级数的比较判别法与比值判别法
1.比较判别法
设u v ，若v 收敛，则
n n n
n=1
18
n
= 1
u
n
收敛，若
n
= 1
u
n
发散，则
n
= 1
v
n
发散
2.比值判别法
lim
n
u
n
u
n
1
1
1
1
→
+ =
=
收
发
失
敛
散
效
【考点 2】几个重要级数
①
n
= 1
a q n
q
q
1
1
,
,
收
发
敛
散
( a 0 ) ②
n
= 1
1
n p
p
p
1
1
,
,
收
发
敛
散
③
n 2
n
1
ln n
1
1
1
1
,
,
,
,
1
1
,
,
=
=
=
收
发
敛
散
收
发
敛
散
【考点 3】常见的麦克劳林级数
1. s i n x = n
= 0
( − 1 ) n
( 2
x
n
2 n
+
+ 1
1 ) !
= x −
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+ , ( − x + )
2. c o s = n
= 0
( − 1 ) n
(
x
2
2
n
n
) !
= 1 −
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+ , ( − x + )
3. l n ( 1 + x ) = n
= 0
( − 1 ) n
x
n
n
+
+ 1
1
= x −
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+ , ( − 1 x 1 )
4.
1
1
+ x
= n
= 0
( − 1 ) n x n = 1 − x + x 2 − x 3 + , ( − 1 x 1 )
1
5. =xn =1+x+x2 +x3+ ,(−1 x1)
1−x
n=0
6.
19
e x = n
= 0
x
n
n
!
= 1 + x +
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+ , ( − x + )
第七章 常微分方程
【考点1】一阶微分方程的求解
1.可分离变量型：
20
d
d
y
x
= g ( x ) h ( y )
h
d( y
y )
= g ( x ) d x
h
d( y
y )
= g ( x ) d x
2.一阶线性型：
d
d
d
d
y
x
x
y
+
+
P
P
(
(
x
y
)
)
y
x
=
=
Q
Q
(
(
x
y
)
)
y
x
=
=
e
e
−
−
P
P
(
(
x
y
)d x
)d y
Q
Q
(
(
x
y
)e
)e
P
P
( ) x d x d
( ) y d y d
x
y
+
+
C
C
【考点 2】二阶微分方程的求解
y ''+ p y '+ q y = 0 （ p , q 为常数）称为二阶常系数齐次线性微分方程
① 写特征方程 2 p q 0 + + = ，判别式 = p 2 − 4 q
② 写通解
y
y
y
C
(
e
1
C
e
1
x
x1
( C
C
1
C
x
2
c o
2
)
s
e
e
x 2
x1
x C
2
s i n x )
0
0
0
,
,
,
1
1
1 ,2
2
2
i
=
=
=
+
+
+
=
=
=
y ''+ p y '+ q y = f ( x ) （ p , q 为常数）称为二阶常系数非齐次线性微分方程，
f ( x ) 为自由项
非齐通=齐通+非齐特（y=Y + y*），齐通Y 在上文中已经求出，下面分析如
何求非齐特 y * ，根据自由项 f (x)的不同假设 y * ，然后再使用待定系数法求出 y *
中的参数即可
（1） f ( x ) e x P
m
( x ) = 时，y* =exQ (x)xk
m
关于k的设定：
若
21
f ( x ) 中的不是特征方程的根，则 k = 0 ；
若 f ( x ) 中的是特征方程的一重根，则k =1；
若 f ( x ) 中的是特征方程的二重根，则 k = 2 。
（2） f ( x ) e x P
l
( x ) c o s x Q
n
( x ) s i n x = + 时，
y * e x R 1m ( x ) c o s x R 2m ( x ) s i n x x k = + ， m = m a x ( l , n )
关于 k 的设定：
若 f ( x ) 中的i不是特征方程的根，则 k = 0 ；
若 f ( x ) 中的i是特征方程的根，则 k = 1 。