2026成人高考
专升本-高等数学（二）
三色速记笔记

H012301 成考专升本高等数学（二）考点汇编

第一章 极限与连续

【考点1】函数的定义

形如y f(x)（xD），我们称y为x的一元函数，其中x称为自变量，y称为因变量.x的

1

f(x)

③ln f(x) f(x)0；④ arcsin f(x) f(x) 1 .

【考点2】复合函数定义

f g g f

定的函数y f[g(x)]，xD ，称为由函数ug(x)与函数y f(u)构成的复合函数，它的

g

g

【考点3】初等函数

①幂函数：形如yx（R并且是常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指

数为常数的函数称为幂函数.

②指数函数：函数yax（a0且a1）叫做指数函数.

③对数函数：函数ylog x （a0且a1）叫做对数函数.

a

特殊对数函数：以ae为底的对数函数称为自然对数，简记为ylnx；以a10为底的对

数函数称为常用对数，简记为ylgx.

④三角函数：形如ysinx,ycosx,ytanx 这些函数就是三角函数.

⑤反三角函数：形如yarcsinx,yarccosx,yarctanx这些函数就是反三角函数.

【考点4】极限存在的充要条件

0

lim f(x) lim f(x).

xx xx

0 0

【考点5】函数极限的性质

（1）极限的唯一性：如果lim f(x)存在，那么这极限唯一.

x

x

limh(x) A，则有limg(x) A.

x x

【考点6】极限的四则运算

设函数 f(x)、g(x)，其极限lim f(x) A，limg(x)B，则

xx0 xx0

（1）limf(x)g(x)AB（其中,为常数）；

xx0

f(x) A

（2）limf(x)g(x)=AB；（3）lim  (B0) .

xx0 xx0 g(x) B

【考点7】无穷小与无穷大的概念及关系

（1）如果函数 f(x)当xx （或x）时的极限为零，那么称函数 f(x)为当xx （或

0 0

x）时的无穷小.

（2）如果当x x （或x）时，对应的函数值的绝对值 f(x) 无限增大，那么称函数

0

f(x)为当xx （或x）时的无穷大.

0

1

（3）无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化中，如果 f(x)为无穷大，则 为无

f(x)

1

穷小；反之，如果 f(x)为无穷小，且 f(x)0，则 为无穷大.

f(x)

【考点8】无穷小的性质

①有限个无穷小的和也是无穷小；

②有界函数与无穷小的乘积还是无穷小.

【考点9】无穷小的比较

设lim f(x)=0，limg(x)=0，两个函数都是在同一自变量的变化过程中的无穷小，且

f(x)

lim  A.

g(x)

①A0，则称 f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记作 f(x)g(x)；

②A，则称 f(x)是比g(x)低阶的无穷小；

③AC，(CR且C  0)，则称 f(x)与g(x)是同阶无穷小；

④A1，则称 f(x)与g(x)是等价无穷小，记作 f(x)~g(x).

【考点10】常见的等价无穷小

常见等价无穷小有：当x0时

1

（1）x~sinx~arcsinx~tanx~arctanx ，1cosx~ x2；

2

（2）x~ex1~ln(1x)，ax1~ xlna；

（3）(1x)1~x.

【考点11】两个重要极限

sinx sinx

（1）当x0时，函数 趋向于1，即极限lim 1.

x x0 x

1 1 1

（2）当x时，函数(1 )x趋向于e,即极限lim(1 )x e或lim(1x)x e.

x x x x0

【考点12】函数连续的充分必要条件

0 0

右极限＝该点处的函数值.

【考点13】函数的间断点的分类

 可去间断点（左右极限存在且相等）

第一类间断点

  跳跃间断点（左右极限存在但不等）



间断点



第二类间断点



（ 左右极限至少有一个不存在）



【考点14】闭区间上连续函数的性质

值.即存在x ,x a,b，使得 f(x )m, f(x )M ，且对任意的xa,b，有m f(x)M .

1 2 1 2

（这里m、M 分别称为 f(x)在a,b上的最小值与最大值）

存在一点，使得 f()0,则称点为函数 f(x)的零点.

之间的任意一个数，则在a,b内至少存在一点，使得 f().

第二章 一元函数微分学

【考点1】导数的定义

y f(x x) f(x )

如果极限lim  lim 0 0 存在，则称函数 f(x)在点x 处可导，极限值称为函

x0x x0 x 0

dy df(x)

数在点x 处的导数，记为 f '(x )，或 y ， ， 等.

0 0 xx0 dx xx0 dx xx0

f(x h) f(x )

0 h0 h

f(x) f(x )

或者 f(x ) lim 0 (xx x).

0 xx0 xx

0

0

【考点2】左导数与右导数的定义

f(x) f(x )

左导数：如果极限 lim 0 存在，则称该极限值称为函数在点x 处的左导数，记为

xx0  xx

0

0

f '(x ).

0

f(x) f(x )

右导数：如果极限 lim 0 存在，则称该极限值称为函数在点x 处的右导数，记为

xx0  xx

0

0

f '(x ).

0

【考点3】导数的几何意义

如果函数y f(x)在点x 处导数 f '(x )存在，则在几何上 f '(x )表示曲线y f(x)在点

0 0 0

(x , f(x ))处的切线的斜率，根据“点斜式”求直线方程的方法，就可以得到曲线在点

0 0

(x , f(x ))处的切线方程为y f(x ) f '(x )(xx ) .

0 0 0 0 0

1

曲线y f(x)在点(x , f(x ))处的法线方程为 y f(x ) (xx ).

0 0 0 f '(x ) 0

0

【考点4】微分

如果函数 f(x)在区间(a,b)内处处可微分，则有dy f '(x)dx.

【考点5】导数的基本公式

C'0（C为常数） (xu)'uxu1

(sinx)'cosx (cosx)'sinx

(tanx)'sec2x (cotx)'csc2x

(secx)'secxtanx (cscx)'cscxcotx

(ax)'axlna (ex)'ex

1 1

(log x)' (lnx)'

a xlna x

1 1

(arcsinx)' (arccosx)'

1x2 1x2

1 1

(arctanx)' (arccotx)'

1x2 1x2

【考点6】导数的四则运算

若 f(x)，g(x)都可导，则

（1）f(x)g(x)' f '(x)g'(x) ；（2）Cf(x)'Cf '(x)（C是常数）；

 f(x) f '(x)g(x) f(x)g'(x)

（3）f(x)g(x)' f '(x)g(x) f(x)g'(x) ；（4）  ' （其中g(x)0）.

g(x) g2(x)

【考点7】复合函数的求导法

如果ug(x)在点x可导，而y f(u)在点ug(x)可导，则复合函数 y f[g(x)]在点x可导，

dy dy du dy

且其导数为   或  f '(u)g'(x).

dx du dx dx

【考点8】隐函数的求导法

dy

若y f(x)是由方程F(x,y)0所确定的隐函数，且y f(x)可导，为了求 ，方程两端同

dx

时对x求导，用复合函数求导法则计算，对y关于x的求导写成y'，然后运用移项合并等解

得y'即可.

【考点9】参数方程确定的函数的求导法

x(t)

由参数方程给出的平面曲线就是通过含有参数t的方程 ，

y(t)

dy dy dt 1 (t)

  (t)  .

dx dt dx (t) (t)

【考点10】洛必达法则

0 

0 

（1）lim f(x)0,limg(x)0（或有lim f(x),limg(x)）；

xx0 xx0 xx0 xx0

（2）在点x 的某一去心邻域内， f '(x)和g'(x)都存在，且g'(x)0；

0

f '(x)

（3）极限lim  A（A可为实数也可为），

xx0 g'(x)

f(x) f '(x)

则有lim lim  A.

xx0 g(x) xx0 g'(x)

【考点11】函数的单调性

若函数y f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导：

（1）若在a,b内 f '(x)0，则函数y f(x)在a,b上单调增加；

（2）若在a,b内 f '(x)0，则函数 y f(x)在a,b上单调减少.

【考点12】函数的极值

设函数 f(x)在a,b内有定义，x 是a,b内的某一点，则：

0

（1）如果点x 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x(x x )，总有 f(x) f(x )，则称

0 0 0

f(x )为函数的一个极大值，称x 为函数 f(x)的一个极大值点；

0 0

（2）如果点x 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x(x x )，总有 f(x) f(x )，则称

0 0 0

f(x )为函数的一个极小值，称x 为函数 f(x)的一个极小值点.

0 0

【考点13】极值的第一充分条件

设函数 f(x)在点x 处连续，且在x 的某去心邻域内可导，则：

0 0

（1）在xx 的左侧邻域内（xx 时）， f '(x)0，右侧邻域内（xx 时）， f '(x)0，

0 0 0

则 f(x)在点x 处取得极大值，即 f(x )为函数的极大值；

0 0

（2）在xx 的左侧邻域内（xx 时）， f '(x)0，右侧邻域内（xx 时）， f '(x)0，

0 0 0

则 f(x)在点x 处取得极小值，即 f(x )为函数的极小值；

0 0

（3）若 f '(x)在点xx 左右邻域内 f '(x)的符号保持不变（同号），则 f(x )必不是极值.

0 0

【考点14】极值的第二充分条件

设函数 f(x)在x 处有二阶导数，且 f '(x )=0， f ''(x )0，则：

0 0 0

（1）当 f ''(x )0时， f(x )为极大值，x 为极大值点；

0 0 0

（2）当 f ''(x )0时， f(x )为极小值，x 为极小值点.

0 0 0

【考点15】函数凹凸性的判定

设 f(x)在区间I 上 f ''(x)0(f ''(x)0)，则函数曲线 y f(x)在区间I 内是凹（凸）的.

【考点16】函数的拐点

曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点.

设 f(x)在xx 的某去心邻域内二阶可导，如果 f ''(x)在点x 的左右两侧邻域异号，而且

0 0

f ''(x )0或xx 处不存在二阶导数，则点(x , f(x ))是曲线y f(x)的拐点.

0 0 0 0

第三章 一元函数积分学

【考点1】不定积分性质

（1）设 f(x)存在一个原函数F(x)，则

①[ f(x)dx]' f(x)或d[ f(x)dx] f(x)dx.

②F(x)dxF(x)C或dF(x)FxC.

（2）kf(x)dxk f(x)dx；

（3）  f(x)g(x)  dx f(x)dxg(x)dx.

【考点2】基本积分公式

①常量函数：0dxC ，kdxkxC(k为常数)；

1

②幂函数：xadx xa1C(a1)；

a1

ax

③指数函数：axdx C(a0,且a1)，exdxex C ；

lna

1

④对数函数： dxln x C ；

x

⑤三角函数：cosxdxsinxC，sinxdxcosxC，

1 1

 dxsec2xdxtanxC ， dxcsc2xdxcotxC ，secxtanxdxsecxC ，

cos2 x sin2 x

cscxcotxdxcscxC ；

1

⑥反三角函数： dxarcsinxC arccosxC ，

1x2

1

 dxarctanxC arccotxC .

1x2

【考点3】第一类换元法（凑微分法）

设F(u)是 f(u)的一个原函数，'(x)是连续函数，那么 f (x)'(x)dx F(x)C ，第一

类换元法计算的关键在于把被积表达式凑成两部分，一部分为d(x)，另一部分为 f(x).

【考点4】第二类换元法

设(t)具有连续的导函数，其反函数存在且可导，如果函数 f(x)连续且

 

方法我们称之为第二换元法.

【考点5】分部积分法

设连续函数uu(x),vv(x)，由微分法则可得：

d(uv)udvvduudvuvvdu ，即u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x) .

【考点6】定积分的性质

（1）常数性质： a f(x)dx0, b dxba ；

a a

a b

（3）线性性质： bf(x)g(x)dx b f(x)dx b g(x)dx ；

a a a

（4）区间可加性： b f(x)dx c f(x)dx b f(x)dx ；

a a c

（5）保序性： b f(x)dx0(ab)（区间a,b上 f(x)0）；

a

（6）估值定理：m(ba) b f(x)dxM(ba)(ab) ；

a

（7）积分中值定理： b f(x)dx f()(ba) （a,b）.

a

【考点7】牛顿-莱布尼茨公式

设函数 f(x)在a,b上连续，F(x)是 f(x)在a,b上的一个原函数，则有

 b f(x)dxF(x) b F(b)F(a) .

a a

【考点8】定积分换元法

设（1） f(x)是区间a,b上的连续函数；

（2）'(t)在,连续，且'(t)0,t,；

（3）()a,()b，

则有 b f(x)dx  f (t)'(t)dt .

a 

【考点9】定积分分部积分法

在定积分中，如果有连续函数uu(x),vv(x)，则有

 b u(x)dv(x)u(x)v(x) b  b v(x)du(x).

a a a

【考点10】定积分求平面图形面积

直角坐标系下：A bf(x)g(x)dx ；

a

【考点11】定积分求旋转体体积

（1）连续曲线y f(x)0，直线xa,xb(ab)及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一

周而成的旋转体的体积：V= b f2(x)dx；

a

（2）连续曲线x(y)，直线yc,yd(cd)及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周

而成的旋转体的体积：V  d 2(y)dy.

c

第四章 多元函数微分学

【考点1】一阶偏导数

 z f(x x,y ) f(x ,y )

（1）如果极限 lim x  lim 0 0 0 0 存在，则称此极限为函数z f(x,y)在点

x0 x x0 x

z

(x ,y )处对x的偏导数，记作z (x ,y ), f (x ,y ), ；

0 0 x 0 0 x 0 0 x (x0,y0)

 z f(x ,y y) f(x ,y )

（2）如果极限 lim y  lim 0 0 0 0 存在，则称此极限为函数z f(x,y)在

y0 y y0 y

z

点(x ,y )处对y的偏导数，记作z (x ,y ), f (x ,y ), .

0 0 y 0 0 y 0 0 y (x0,y0)

【考点2】一阶偏导数的求法

二元或以上的多元函数的偏导数对某一自变量求偏导数时，只需要把其余自变量看作常数，

z z

x y

y求偏导，则将x看作常数，x'0.

【考点3】多元函数二阶偏导数

 z 2z

（1）对x的二阶偏导：z (x,y) f (x,y)   ；

xx xx xx x2

 z 2z

（2）先对x后对y的二阶混合偏导：z (x,y) f (x,y)   ；

xy xy yx xy

 z 2z

（3）先对y后对x的二阶混合偏导：z (x,y) f (x,y)   ；

yx yx xy yx

 z 2z

（4）对y的二阶偏导：z (x,y) f (x,y)   .

yy yy yy y2

【考点4】多元函数全微分

z z

如果函数z f(x,y)在点(x,y)处的偏导数 , 都存在，则函数z f(x,y)在点(x,y)处的全

x y

z z

微分为dz dx dy .

x y

【考点5】多元函数复合求导

（1）复合函数的中间变量均为一元函数时，函数z f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，

dz z du z dv

则复合函数 f((t),(t))在点t可导，则     ；

dt u dt v dt

（2）复合函数的中间变量均为多元函数时，函数z f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，

则复合函数z f((x,y),(x,y))在点(x,y)的两个偏导数存在，则

z z u z v z z u z v

    ,     ；.

x u x v x y u y v y

（3）复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数时，函数z f(u,v)在对应点(u,v)具

有连续偏导数，则复合函数z f((x,y),(y))在点(x,y)的两个偏导数存在，且有

z z u z z u z dv

  ,     .

x u x y u y v dy

【考点6】二元隐函数求导

若函数F(x,y)在(x ,y )附近具有连续的偏导数，且 f (x ,y )0,F(x ,y )0 ，方程

0 0 y 0 0 0 0

dy F

F(x,y)0能确定具有连续导数y f(x)，满足y  f(x )，则  x .

0 0 dx F

y

【考点7】条件极值（拉格朗日乘数法）

构造拉格朗日函数F(x,y,) f(x,y)(x,y)，其中为拉格朗日乘数，联立方程组

F  f (x,y)(x,y)0

x x x



F  f (x,y) (x,y)0

y y y



F (x,y)0



解出x,y,的值，其中(x,y)就是可能的极值点坐标.

第五章 概率论初步

【考点1】排列

一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个

不同的元素中取出m个元素的一个排列.两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，

且元素排列的顺序也相同.从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，

叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号Am表示.

n

【考点2】组合

一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同的元素中取出

m个元素的一个组合.从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做

从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用符号Cm表示.

n

【考点3】随机事件间的关系

（1）事件的包含关系：若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了事件A，记

做A⊂B.

（2）事件的相等关系：设A,B⊂Ω，若A⊂B，同时有B⊂A，称A与B相等，记为A=B.

（3）并（和）事件：事件A与事件B中至少有一个发生的事件称为A和B的和事件或并事

件，记做A⋃ B或A+B.

（4）积（交）事件：事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A和事件B的积事件或交

事件，记做AB或A⋂ B.

（5）差事件：事件A发生事件B不发生，称为事件A与事件B的差事件，记做A−B.

（6）不相容事件（互斥事件）：若两个事件A与B不能同时发生，即AB=∅ ，称A与B为

互不相容事件（或互斥事件）.

【考点4】古典概型的定义

随机试验若具有下述特征：（1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个.

（2）每个基本事件出现的可能性是相等的.（3）称这种数学模型为古典概型.

【考点5】概率的性质

（1）P(∅ )=0

（2）（有限可加性）若A，A，A 是两两互不相容的事件，则有

1 2 n

P(A  A  A ) P(A)P(A )P(A )

1 2 n 1 2 n

（3）设A,B是两个事件，有P(B−A)=P(B)−P(AB)

特别地，若A⊂B，则有P(B−A)=P(B)−P(A)，且有P(A)≤P(B)

（4）对于任一事件A，有0≤P(A)≤1

（5）（逆事件的概率）对于任一事件A，有P(A)1P(A)

【考点6】条件概率的概念

P(AB)

设事件B的概率P(B)>0，对任意事件A，称P(AB) 为在已知事件B发生P(B)的

P(B)

【考点7】相互独立事件的概念

事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独

立事件.若事件A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).

【考点8】离散型随机变量的分布列的性质

（1）0 p 1,k 1,2⋅

k



（2） p 1

k

k1

（3）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.

【考点9】0−1分布（两点分布）

设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是

P{X k} pk(1 p)1k,k 0,1(0 p1)

则称X服从以p为参数的(0−1)分布或两点分布.

【考点10】二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件发生k次的

概率是P{X k}Ckpkqnk

n

【考点11】离散型随机变量的期望

n

设离散型随机变量X的分布律为P{X  x } p ,k 1,2,,n称x p 为随机变量X的

k k k k

k1

n

数学期望，简称期望或均值，记为E(X).即E(X)x p

k k

k1

【考点12】期望的性质

（1）E(C)=C（C是常数）

（2）E(cX)=cE(X)

（3）E(aX+b)=aE(X)+b

（4）E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

（5）若X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y).