考点1：极限
1. 利用公式求极限
，
Q ( )
+
−1
−1 +⋯+ 0
， =
li→m∞ = li→m∞
( )
+
−1 +⋯+ 0 ∞ >
2. 无穷小量与无穷大量
0 >
（1）无穷小量
若当 时函数 的极限为零，
则称 为 时的无穷小量.
→ 0( →∞) ( )
（2）无穷大量
( ) → 0( →∞)
若当 时函数 的绝对值无限增大，
则称 为 时的无穷大量.
→ 0( →∞) ( )
3. 无穷小量的比较
( ) → 0( →∞)
设 ， 都是自变量 在同一变化时的无穷小量，
（ 1）若 ， 称 是比 高阶的无穷小.
（2）若 ，称 是比 低阶的无穷小.
lim =∞
（3）若 ，称 与 是同阶的无穷小.
当 时lim， 称= 与( ≠是0等)价无 穷小 ，记为 .
4. 等价无穷小的代换定理
~
常用等价无穷小代换：
当 ， sin ln arcsin arctan tan ，
→ 0 ~， ~ (1+ )~ 为 ~实常数， ~e −1~
1 2
15.−两co个s 重~要2 极限(1+ ) −1~
(
≠0)
（1） 变形：
sin sin∎
（2） 或
1
1
li→m∞(1+ ) =e l i→m0(1+ ) =e
变形： 或
1
1 ∎ ∎
6. 洛必达法则（ 型）
0
0
g g'
( ) ( )
→∞ ( ) →∞ ( )
考点2：连续
1. 函数 在点 处连续的三要素
（1）函数 在点 处有定义.
（2） 当 时， 有极限.
( ) 0
→ 0 ( )
1/8
（3）极限值等于该点的函数值.
2. 函数在一点处连续的充要条件
.
3 l→i . m 函0 数( 的)=间 断 点 0 ⟺ l→im 0 −
=
0
函数不连续的点就是间断点，无意义的点就是其中的间断点.
考点3：导数与微分
1. 导数的定义
或
'
0+Δ −
0 '
−
0
2. 导数的几何意 义 0 = Δl im→0 Δ
表示函数在点 ， 处切线的斜率.
'
切线 0方程为 0
0
，
法线方程为 '
−
0 − 0
（ ）.
1 '
3. 基本初等函数的导数 公−式
0 ≠0
C
' ' −1 ' 1 ' 1 '
log
= ln ln =
= ln
' ' ' ' 2
e =e sin =cos cos =−sin tan =sec
' 1 2 ' 1 ' −1
cot =−sin 2 =−csc arcsin = 1− 2 arccos = 1− 2
' 1
2
设 与 在点 处可导，则
， ，
= ( ) = ( )
' '
=
， ( ± )'= '± ' .
' ' '
' ' '
−
（1）复合函数的求导法则
（2）隐函数的求导法则 = · = '( )·g'( )
求 只需直接由方程 关于 求导，将 认作中间变量，以复合函数链式法求之.
（3）由参数方程确定的函数的求导法则
设 是由 所确定.其中 为可导函数，且 ，则
= ( )
= ( )
'( )
= = .
'( )
2/8
（4）对数求导法
6. 高阶导数
就是对 连续进行了 次求导.
7
. 微分
= '( )
考点4：导数的应用
1. 函数单调性的判定
（1）若对于任意的 ，有 ＞，
则 在 上为单调增加的函数.
∈ ( , ) '( ) 0
（2）若对于任意的 ，有 ＜，
= ( ) [ , ]
则 在 上为单调减少的函数.
∈ ( , ) '( ) 0
2. 函数的极值
= ( ) [ , ]
（1）函数的驻点
的根称为驻点.
（2）函数取得极值的充分条件
第一种充分条件：
设函数 在点 的某一邻域内可导，且 ，
当 时， ，当 时， ，则 在点 处取得极大值 .
当 时， ，当 时， ，则 在点 处取得极小值 .
< 0 '( )>0 > 0 '( )<0 ( ) 0 ( 0)
若当 与 ' 时， 不改变符号，则 在点 处不取得极值.
< 0
<0 > 0 '( )>0 ( ) 0 ( 0)
第二种充分条件：
< 0 > 0 '( ) ( ) 0
设函数 在点 处具有二阶可导，且 .若
，则 在点 处取得极大值
= ( ) 0 '( 0)=0,″ ( 0)≠0
，则 在点 处取得极小值
″ ( 0)<0 ( ) 0 ( 0).
，则函数 在点 处可能取得极值，也可能不取得极值，这时需要用第一种充
″ ( 0)>0 ( ) 0 ( 0).
分条件判定.
3. 函数的最值
（1）求点：求出 在 内的所有驻点、导数不存在的点.
（2）求函数值：求出上述各点及区间两个端点 处的函数值.
( ) ( , )
（3）比大小：进行比较，其中最大的数值为 在 上的最大值，而其中最小的数值为
= , =
在 上的最小值.
( ) [ , ]
4. 曲线的凹凸性与拐点
( ) [ , ]
（1）曲线凹凸性的判定
设函数 在 上连续，在 内二阶可导.
若在 内有 ，则曲线 在 内为凹的.
= ( ) [ , ] ( , )
若在 内有 ，则曲线 在 内为凸的.
( , ) ″ ( )>0 = ( ) ( , )
（2）曲线拐点的判定
( , ) ″ ( )<0 = ( ) ( , )
①求：求出该函数的二阶导数，并求出使二阶导数等于零的点，以及二阶导数不存在的点.
②判：判定上述各点两侧，函数的二阶导数是否异号，如果 在 的两侧异号，则
， 为曲线弧 的拐点.
″ ( ) 0 ( 0
3/8
5. 曲线的水平渐近线与铅直渐近线
（1）水平渐近线
若 或 ，
则直 l→im−线∞
=为 曲线 l→im+∞
=的水 平渐近线.
（2）铅直渐近线
=
= ( )
若 或 ，
则直 l→im 线0 − ( )=为∞曲线 l → im 0 + ( )=的∞铅直渐近线
考点5：不定积分
1. 原函数与导数之间的关系
如果 成立，称 为函数 的原函数， 为函数 的导函数.
2. 不定积分与原函数的关系
'( )= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
函数 在区间 上的所有原函数的全体 叫做 在区间 上的不定积分.
3. 不定积分的性质
( )
( )+
( )
（1） 为不等于0的常数 .
（2） .
∫
( )
= ∫ ( )
( )
（3） 或 .
∫[
±g ]
=∫ ( )
±∫g( )
（4） 或 .
∫ ( )
'= ( ) ∫ ( )
= ( )
4. 基本积分公式
∫ '( )
= ( )+ ∫
( )= ( )+
. . .
1 +1 1
∫0d = ∫ d = +1 + ( ≠−1) ∫ d =
+
，特别地 . .
1
∫ d =ln
+ ∫e d =e + ∫sin d =−cos +
. . .
1 1
2 2
∫cos d =sin + ∫cos d =tan + ∫sin d =−
+
. .
1 1
∫5. 不1− 定2 积 分=的ar计cs算in 方+法 ∫1+ 2
=arctan +
（1）第一换元积分法（凑微分法）
［ ］ .
( ) ( ) = ( )
（2）第二换元积分' 法
∫
=∫
=∫
=
+ =
( ) +
设 是单调可导函数，又已知 具有原函数 ，则 是 的原
函数即 −1
= ( ) [
] '( ) ( ) [
] ( )
.
其中 是 的反函数 ' −1
∫
=∫
=
+ = [
]+ .
（3）分−1部积分法
( ) = ( ) .
，即 .
∫
'd =
−∫
'd ∫
=
−∫
考点6：定积分
1. 定积分的性质
（1） .
4/8
∫
d =−∫
d
（2） .
∫
（3） .
∫
d =∫
d +∫
d
（4） .
∫ d = −
（5）若在区间 上有 ，则 .
（6）设 为[函 ,数 ] 在 (区 )间≤g( )上的最∫ 小 值 最d 大≤值∫， g d
则 ,
( ) [ , ] . ,
2. 变上限 积( 分−求 )导≤∫
d ≤ ( − )
3. 牛顿-莱布尼茨公式
d =
.
是 的一个原函数，则
( ) ( )
4. 定积分的求法
d = ( ) = ( )− ( ).
（1）定积分的换元积分法
设函数 在 上连续，函数 满足：
① 在 上单调且连续；② ， ；③ 在 上连续，则有
( ) [ , ] = ( )
( ) [ , ]
=
( )=
'( ) [ , ]
（2）定积分的分部积分法
d = [ ( )] '( )
设函数 ， 在 上有连续导数，则
( ) [ , ] 或
'
（3）奇、偶函数在 对 称 'd区 间=上
的 积−分
d d =
− d .
若 在 上为连续奇函数，则
( ) [− , ]
若 在 上为连续偶函数，则
−
( ) [− , ]
5. 反常积分
d .
− 0
+∞
d = l→im+∞
d
d = l→im−∞
d
−∞
考点7：定积分的应用
1. 求平面图形的面积
（1）由曲线 ，直线 及 轴所围图形面积为
= ( ) = , = ( < )
d .
5/8
当 时， ；当 时， ；
d
d
当 有正有负时， .
（ 2）( )由两曲线 = ，1+ 2 =∫ （
d ＞−∫
）d及 两直线 ， ＜ 所围图
形的面积为
= 1( ) = 2( ) 2( ) 1( ) =
= (
)
（3）由曲线 ，直线 ， ＜ 及 轴所围图形的面积为
= ( ) =
= (
)
（4）由两曲线 ， ，=且 ( ，) d . 在 轴同侧，（ ＞ ）及两
直线 ， ＜ 所围图形面积为
= 1( ) = 2( ) 1( ) 2( )
2( ) 1( )
=
= (
)
（5）由曲线 ， =（ [ 2＞( )− ）1(所 )围]d成 .的封闭图形的面积为
= 1( ) = 2( ) 2( ) 1( )
2. 求旋转体的体积 = [ 2 − 1( )] d .
（1）由曲线段 ， 绕 轴旋转一周所成的旋转体的体积为
= ( ) ∈ [ , ]
2
（2）由曲线段 ， 绕=轴 旋 转 一(周 )所d 成. 的旋转体的体积为
= ( ) ∈[ , ]
2
（3）由两曲线 ， ，=且 ，
. 在 轴同侧， ＞ 及两
直线 ， ＜ 所围平面图形绕 轴旋转一周所成的旋转体的体积为
2( ) 1( )
=
= (
)
2 2
（4）由两曲线 ， = ， 且[ 2 −， 1( )] 在 .轴同侧， ＞ 及两
直线 ， ＜ 所围平面图形绕 轴旋转一周所成的旋转体的体积为
= 1( ) = 2( ) 1( ) 2( )
2( ) 1( )
=
= (
)
2 2
.
考点8：偏导数与全微分
1. 一阶全微分形式的不变性
对于函数 ，如果 可微，那么无论 是函数的中间变量，还是自变量，均有
= ( , ) ( , ) ,
2. 复合函数的偏导数
= d + d .
设函数 在点 处有连续偏导数.函数 在对应点 处
有连续偏导数.则复合函数 在点 处对 有连续偏导数，且
= ( , ), = ( , ) ( , ) = ( , ) ( , )
= [
, ,
, ] ( , ) ,
6/8
3. 隐函数的偏导数 = + , = + .
如果方程 确定 是 的函数，且 在点 的某个邻域内有连续偏导
,
( , ,. ) ( , , )
, ,
, ,
=−
, , ,
=−
, , (
( , , )≠ 0)
考点9：二元函数的极值
1. 二元函数的驻点
满足 且 的点 称为二元函数 的驻点.
2. 极值存在的充分条件
设函数 在其驻点 的某个邻域内有二阶的连续偏导数，令 ，
= ( ,， ) ( 0, ，0) ，于是有 =
( 0, 0)
2
，且当 时， 是极大值；当
时， 是极小值.
Δ<0 ( 0, 0) <0 ( 0, 0) >0
（2）如果 ，则点 不是函数的极值点.
( 0, 0)
（3）如果 ，则函数 在点 有无极值不能确定，需用其他方法判别.
Δ>0 ( 0, 0)
3. 条件极值的求法
先构造拉格朗日函数：
，
, , =
, +
, .
求解方程组 解出 ，则其中 就是 在条件
=
( , )+
=
, +
, =0, , , ( , ) = ( , )
下的可能极值点的坐标.
=
考点10：随机事件及其概率
1. 随机事件间的关系及运算
（1）事件的包含与相等
如果事件A的发生必然导致事件B的发生，则称事件B包含事件A，即A事件是B事件的
子事件.记作B A或A B.
如果事件 、 满足 ，且 ，则称事件 、 相等，记作： .
⊃ ⊂
（2）事件的和
⊂
⊂
=
事件 与 至少有一个发生的事件称为 与 的和事件(或并)，记作： 或 .
（3）事件的积
+ ( ∪ )
事件 与 同时发生的事件，称为事件 与 的积事件(或交)，记作： 或 .
（4）事件的互不相容
( ∩ )
如果事件 与 不能同时发生，即 ，则称事件 与 为互不相容事件(或互斥事件).
（5）如果两个事件 与 满足： ， ，则称 与 为互逆(或对立)事件，并
=∅
称 是 的逆事件. 的逆事件记作： .
∪ =
∩ =∅
（6）事件的差
事件 发生而 不发生的事件，称为事件 与 的差，记作： （或 ）.
2. 概率的性质
−
（1） .
（2）对于任意事件 有 .
,
( ∪ )= ( )+ ( )− (
)
7/8
当 与 互不相容时， .
（3）
( ∪ )= ( )+ ( )
特别地，当 时， ，且 .
( − )= ( )− (
).
（4）
⊂
( − )= ( )− ( ) ( )≤ ( )
3. 古典概型中随机事件的概率计算公式
设古典概型中随机试验 的样本空间 由 个基本事件组成，而随机事件 包含 个基本
事件，则事件 发生的概 率为 .
(≤ )
4. 条件概率
( )=
设 为同一随机试验的两个事件，且 ＞，则称 ｜ 为在事件 发生的条件下，事
件 发生的条件概率.且
,
( ) 0 (
)
｜
(
)
5. 事件的独立性 (
)= .
( )
如果 ，则称事件 是相互独立的.
如果 与 事件相互独立，则 与 ， 与 ， 与 也都相互独立.
(
)= ( )· ( ) ,
考点11：离散型随机变量
1. 离散型随机变量的概率分布
设离散型随机变量 的一切可能值为 ，且对应于 有
，
1, 2, ⋯,
, ⋯ 1, 2, ⋯,
, ⋯
=
=
则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律(列)，常以表格的形式列出.
2. 概率分布的性质
概率分布的性质有： ；
（1）期望
设离散型随机变量 的分布律为 ，称
=
=
（2）方差
( )
设 为随机变量，若 存在，则称 为 的方差，记为 .
若 为离散型随机变量，其分布律2为 2 ，则
[ − ( )] [ − ( )]
( )
=
=
2
= [
− ( )]
.
（3）标准差 =1
随机变量 的标准差 （或称均方差）为方差的算术根，即
( )
( )= ( ).
8/8