考点1：极限
1. 利用公式求极限
，
Q ( )
+
−1
−1 +⋯+ 0
， =
li→m∞ = li→m∞
( )
+
−1 +⋯+ 0 ∞ >
2. 无穷小量与无穷大量
0 >
若当 时函数 的极限为零，则称 为 时的无穷小量.
若当 时函数 的绝对值无限增大，则称 为 时的无穷大
→ 0( →∞) ( ) ( ) → 0( →∞)
量.
→ 0( →∞) ( ) ( ) → 0( →∞)
3. 无穷小量的比较
设 ， 都是自变量 在同一变化时的无穷小量，
（ 1）若 ， 称 是比 高阶的无穷小.
（2）若 ，称 是比 低阶的无穷小.
lim =∞
（3）若 ，称 与 是同阶的无穷小.
当 时lim， 称= 与( ≠是0等)价无 穷小 ，记为 .
4. 等价无穷小的代换定理
~
常用等价无穷小代换：
当 ， sin ln arcsin arctan tan ，
→ 0 ~， ~ (1+ )~ 为 ~实常数， ~e −1~
1 2
15.−两co个s 重~要2 极限(1+ ) −1~
(
≠0)
（1） 变形：
sin sin∎
（2） 或 变形： 或
1 1
1
1 ∎ ∎
li→m∞(1+ ) =e l i→m0(1+ ) =e ∎li→m∞(1+∎) =e ∎li→m0(1+∎) =e
6. 洛必达法则（ 型）
0
0
g g'
( ) ( )
→∞ ( ) →∞ ( )
考点2：连续
1. 函数 在点 处连续的三要素
（1）函数 在点 处有定义.
（2） 当 时， 有极限.
( ) 0
（3）极限值等于该点的函数值.
→ 0 ( )
2. 函数在一点处连续的充要条件
.
3 l→i . m 函0 数( 的)=间 断 点 0 ⟺ l→im 0 −
=
0
1/12
函数不连续的点就是间断点，无意义的点就是间断点.
考点3：导数与微分
1. 导数的定义
或
'
0+Δ −
0 '
−
0
2. 导0数=的Δl几 im→何0 意义Δ
表示函数在点 ， 处切线的斜率.
'
切线 0方程为 0
0
，
法线方程为 '
−
0 − 0
（ ）.
1 '
3. 基本初等函数的导数 公−式
0 ≠0
C
' ' −1 ' 1 ' 1 '
log
= ln ln =
= ln
' ' ' ' 2
e =e sin =cos cos =−sin tan =sec
' 1 2 ' 1 ' −1
cot =−sin 2 =−csc arcsin = 1− 2 arccos = 1− 2
' 1
2
设 与 在点 处可导，则
， ，
= ( ) = ( )
' '
=
， ( ± )'= '± ' .
' ' '
' ' '
−
（1）复合函数的求导法则
（2）隐函数的求导法则 = · = '( )·g'( )
求 只需直接由方程 关于 求导，将 认作中间变量，以复合函数链式法求之.
（3）由参数方程确定的函数的求导法则
设 是由 所确定.其中 为可导函数，且 ，则
= ( )
. = ( )
'( )
（
6. 高阶导数
就是对 连续进行了 次求导.
7
. 微分
2/12
= '( )
考点4：导数的应用
1. 函数单调性的判定
若对于任意的 ，有 ＞，则 在 上为单调增加的函数.
若对于任意的 ，有 ＜，则 在 上为单调减少的函数.
∈ ( , ) '( ) 0 = ( ) [ , ]
2. 函数的极值
∈ ( , ) '( ) 0 = ( ) [ , ]
（1）函数的驻点
的根称为驻点.
（2）函数极值的判定
第一种充分条件：
设函数 在点 的某一邻域内可导，且 ，
当 时， ，当 时， ，则 在点 处取得极大值 .
当 时， ，当 时， ，则 在点 处取得极小值 .
< 0 '( )>0 > 0 '( )<0 ( ) 0 ( 0)
若当 与 ' 时， 不改变符号，则 在点 处不取得极值.
< 0
<0 > 0 '( )>0 ( ) 0 ( 0)
第二种充分条件：
< 0 > 0 '( ) ( ) 0
设函数 在点 处具有二阶可导，且 .若
，则 在点 处取得极大值
= ( ) 0 '( 0)=0,″ ( 0)≠0
，则 在点 处取得极小值
″ ( 0)<0 ( ) 0 ( 0).
，则函数 在点 处可能取得极值，也可能不取得极值，这时需要用第一种充
″ ( 0)>0 ( ) 0 ( 0).
分条件判定.
3. 函数的最值
（1）求点：求出 在 内的所有驻点、导数不存在的点.
（2）求函数值：求出上述各点及区间两个端点 处的函数值.
( ) ( , )
（3）比大小：进行比较，其中最大的数值为 在 上的最大值，而其中最小的数值为
= , =
在 上的最小值.
( ) [ , ]
4. 曲线的凹凸性与拐点
( ) [ , ]
（1）曲线凹凸性的判定
设函数 在 上连续，在 内二阶可导.
若在 内有 ，则曲线 在 内为凹的.
= ( ) [ , ] ( , )
若在 内有 ，则曲线 在 内为凸的.
( , ) ″ ( )>0 = ( ) ( , )
（2）曲线拐点的判定
( , ) ″ ( )<0 = ( ) ( , )
①求：求出该函数的二阶导数，并求出使二阶导数等于零的点，以及二阶导数不存在的点.
②判：判定上述各点两侧，函数的二阶导数是否异号，如果 在 的两侧异号，则
， 为曲线弧 的拐点.
″ ( ) 0 ( 0
5. 曲线的水平渐近线与铅直渐近线
若 或 ，则直线 为曲线 的水平渐近线.
l→im−∞
=
l→im+∞
=
=
= ( )
若 或 ，则直线 为曲线 的铅直渐近线
l→im 0 − ( )= ∞ l → im 0 + ( )=∞ = 0 = ( ) .
考点5：不定积分
1. 原函数与导数之间的关系
3/12
如果 成立，称 为函数 的原函数， 为函数 的导函数.
2. 不定积分与原函数的关系
'( )= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
函数 在区间 上的所有原函数的全体 叫做 在区间 上的不定积分.
3. 不定积分的性质
( )
( )+
( )
（1） 为不等于0的常数 .
（2） .
∫
( )
= ∫ ( )
( )
（3） 或 .
∫[
±g ]
=∫ ( )
±∫g( )
（4） 或 .
∫ ( )
'= ( ) ∫ ( )
= ( )
4. 基本积分公式
∫ '( )
= ( )+ ∫
( )= ( )+
. . .
1 +1 1
∫0d = ∫ d = +1 + ( ≠−1) ∫ d =
+
，特别地 . .
1
∫ d =ln
+ ∫e d =e + ∫sin d =−cos +
. . .
1 1
2 2
∫cos d =sin + ∫cos d =tan + ∫sin d =−
+
. .
1 1
∫5. 不1− 定2 积 分=的ar计cs算in 方+法 ∫1+ 2
=arctan +
（1）第一换元积分法（凑微分法）
［ ］ .
( ) ( ) = ( )
（2）第二换元积分' 法
∫
=∫
=∫
=
+ =
( ) +
设 是单调可导函数，又已知 具有原函数 ，则 是 的原
函数即 −1
= ( ) [
] '( ) ( ) [
] ( )
.
其中 是 的反函数' −1
∫
=∫
=
+ = [
]+ .
（3）分−1部积分法
( ) = ( ) .
，即 .
∫
'd =
−∫
'd ∫
=
−∫
考点6：定积分
1. 定积分的性质
（1） .
∫
d =−∫
d
（2） .
∫
（3） .
∫
d =∫
d +∫
d
（4） .
∫ d = −
（5）若在区间 上有 ，则 .
[ , ] ( )≤g( ) ∫
d ≤ ∫ g d
（6）设 为函数 在区间 上的最小值最大值，则
. ,
( ) [ , ] , ( − )≤∫
d ≤ ( −
)
4/12
2. 变上限积分求导
3. 牛顿-莱布尼茨公式
d = ( )
是 的一个原函数，则
( ) ( )
4. 定积分的求法
d = ( ) = ( )− ( ).
（1）定积分的换元积分法
设函数 在 上连续，函数 满足：
在 上单调且连续； ， ； 在 上连续，则有
( ) [ , ] = ( )
( ) [ , ]
=
( )=
'( ) [ , ]
'
（2）定积分的分部积分法
d = [ ( )]
.
设函数 ， 在 上有连续导数，则
( ) [ , ] 或
'
（3）奇、偶函数在 对 称 'd区 间=上
的 积−分
d d =
− d .
若 在 上为连续奇函数，则 .
( ) [− , ] ∫−
若 在 上为连续偶函数，则 .
5. 反( 常) 积[分− , ] ∫−
d
.
+∞
∫
d = l→im+∞∫
d ∫−∞
d = l→im−∞∫
d
考点7：定积分的应用
1. 求平面图形的面积
（1）由曲线 ，直线 ＜ 及 轴所围图形面积为
= ( ) = , = (
)
d .
当 时， ；当 时， ；
d
d
当 有正有负时， .
（ 2）( )由两曲线 = ，1+ 2 =∫ （
d ＞−∫
）d及 两直线 ， ＜ 所围图
形的面积为
= 1( ) = 2( ) 2( ) 1( ) =
= (
)
（3）由曲线 ，直线 ， ＜ 及 轴所围图形的面积为
= ( ) =
= (
)
（4）由两曲线 ， ，=且 ( ，) d . 在 轴同侧，（ ＞ ）及两
= 1( ) = 2( ) 1( ) 2( )
2( ) 1( )
5/12
直线 ， ＜ 所围图形面积为
=
= (
)
（5）由曲线 ， =（ [ 2＞( )− ）1(所 )围]d成 .的封闭图形的面积为
= 1( ) = 2( ) 2( ) 1( )
2. 求旋转体的体积 = [ 2 − 1( )] d .
（1）由曲线段 ， 绕 轴旋转一周所成的旋转体的体积为
= ( ) ∈ [ , ]
2
= ( )d .
（2）由曲线段 ， 绕 轴旋转一周所成的体积为
= ( ) ∈[ , ]
2
（3）由两曲线 ， ，=且 ，
. 在 轴同侧， ＞ 及两
直线 ， ＜ 所围平面图形绕 轴旋转一周所成的体积为
2( ) 1( )
=
= (
)
2 2
（4）由两曲线 ， = ， 且[ 2 −， 1( )] 在 .轴同侧， ＞ 及两
直线 ， ＜ 所围平面图形绕 轴旋转一周所成的体积为
= 1( ) = 2( ) 1( ) 2( )
2( ) 1( )
=
= (
)
2 2
.
考点8：偏导数与全微分
1. 一阶全微分形式的不变性
对于函数 ，如果 可微，那么无论 是函数的中间变量，还是自变量，均有
= ( , ) ( , ) ,
2. 复=合
函d 数+的
偏d 导. 数
设函数 在点 处有连续偏导数.函数 在对应点 处
有连续 偏=导 数( .则, )复, 合=函 数( , ) ( , ) 在点 处对 = 有( 连, 续) 偏导数，( 且, )
= [
, ,
, ] ( , ) ,
=
， .
3 . 隐 +函 数
的 偏
导=数
+
如果方程 确定 是 的函数，且 在点 的某个邻域内有连续偏导
,
( , ,. ) ( , , )
, ,
, ,
=−
, , ,
=−
, , (
( , , )≠ 0)
考点9：二元函数的极值
1. 二元函数的驻点
满足 且 的点 称为二元函数 的驻点.
2. 极值存在的充分条件
设函数 在其驻点 的某个邻域内有二阶的连续偏导数，令 ，
( 0, 0)
6/12
， ， ，于是有
2
，且当 时， 是极大值；当
时， 是极小值.
Δ<0 ( 0, 0) <0 ( 0, 0) >0
（2）如果 ，则点 不是函数的极值点.
( 0, 0)
（3）如果 ，则函数 在点 有无极值不能确定，需用其他方法判别.
Δ>0 ( 0, 0)
3. 条件极值的求法
先构造拉格朗日函数：
，
, , =
, +
, .
求解方程组 解出 ，则其中 就是 在条件
=
( , )+
=
, +
, =0, , , ( , ) = ( , )
下的可能极值点的坐标.
=
考点10：二重积分
1. 二重积分的性质
设 在有界闭区域 上可积，则有
, ,g ,
（1）
（2）
（3）在 上若 ，且 的面积为 ，则有
（4）如果可以将 分成两个子区域 , ，则
1 2
（5） 上若有 ，有 ，且
（6） ， 分别 ( 是, )≤g(在 , )上的最大值和最小值，且 为 的面积，则有
( , )
（7）设 在有界闭区域 上连续， 是 的面积，则在 上至少存在一点 ，使得
( , )
( , )
2. 直角坐标系下二重积分的计算
（1） (矩形区域)，则
= ( , ) ≤ ≤ , ≤ ≤
（2） ( 型区域)，则
= ( , ) ≤ ≤ , 1( )≤ ≤ 2( ) −
（3） ( 型区域)，则
= ( , ) ≤ ≤ , 1( )≤ ≤ 2( ) −
7/12
（4）二重积分的对称奇偶性：
设积分区域 关于 轴对称，它被 轴分为左右对称的两部分： 左 右.
①若被积函数 关于 是奇函数，则
= +
( , )
②若被积函数 关于 是偶函数 =， 则
, d
( , )
左 右
=
, d
, d
, d
.
3. 极坐标系下二重积 分的计算
（1）适合在极坐标系下计算的二重积分特征
①积分区域 为圆域、圆环、扇形或它们的一部分.
②被积函数 中含 或 ，即 ， .
2 2 2 2
（2）计算 ( , ) +
( , )= ( + ) ( , )=
①当极点 在区域 的外部时， ，则
= ( , ) ≤ ≤ , 1( )≤ ≤ 2( )
②当极点 在区域 的边界曲线之上时， ，
则
= ( , ) ≤ ≤ ,0 ≤ ≤ ( )
③当极点 在区域 的边界曲线之内时
, = ( , ) 0≤ ≤2 ,0 ≤ ≤ ( ) ,
则
考点11：数项级数
1. 级数的敛散性概念
如果 存在，称级数 收敛，并称此极限值为级数的和；
li→m∞
如果 不存在，则称级数 发散，发散的级数无和.
2. 常 l用i→m∞级 数
（1）调和级数
称 为调和级数（发散）.
（2）等比级数（几何级数）
称 公比 为等比级数.当 ＜ 时，级数收敛；当 时，级数发散.
当 ＜ 时，
（3 ） 级1 数
形如 ＞ 的级数.当 ＞ 时，级数收敛；当 ＜ 时，级数发散.
8/12
3. 级数的运算性质
（1）级数 与 具有相同的敛散性.
( ≠0)
（2）若 与 都收敛，则 也收敛.
（3）在级数 的前面去掉、加上或改变其有限项，不改变级数的敛散性.
4. 数项级数敛散性的判定方法
（1）比较判别法
对于正项级数 与 ，当 时，则
≤
当 收敛时， 必收敛；当 发散时， 必发散.
比较判别法的极限形式：如果 ＜＜ ，那么，正项级数 与 具有
li→m∞
相同的敛散性.
（2）比值判别法
对于正项级数 ，若 ，则
+1
li→m∞
=
当 ＜ 时， 收敛；当 ＞ 时， 发散；当 时， 可能收敛也可能发散.
（3）莱布尼茨判别法
若交错级数 满足： ； ，
≥
则 收敛，且和 .
5. 绝对收敛与条件收敛
对于任意项级数 ，如果 收敛，则称 绝对收敛.如果 发散，而原级
数 收敛，则称 条件收敛.
9/12
考点12：幂级数
1. 收敛半径或收敛区间的求法
（1）对标准型幂级数 ，设 ，则有
+1
li→m∞
=
若 ，则 .若 ，则 .若 ，则 （仅在 点收敛）.
1
（2）对一般型幂级数 ，按上述方法求 ，而收敛区间为
，即以 为中心 为半径的开区间.
( 0− , 0+ ) 0
（3）对幂级数 或 ，取其绝对值级数用比值判别法确定收敛区间；或作
变换化为标准型幂级数进行讨论.
2. 几种常用函数的幂级数展开式
∞
1
1−
∞
1
1+
∞
e = (−∞ < <+∞)
∞
2 +1
∞
2
∞
−1
∞
考点13：常微分方程
1. 可分离变量的微分方程
（1）变形：把可分离变量微分方程变形，变成一端只含 的函数和 ，另一端只含 的函数
和 .
（2）积分：对变形后的微分方程两端分别进行积分，即可求得原微分方程的通解.
10/12
2. 一阶线性微分方程
3. 二阶常系数线性齐次方∫ 程( )
−∫ ( )
通解的求法
=[∫ ( )e
+ ]e .
先写出与其对应的特征方程 .
″ +
'+
（1）若特征方程有两个不等2实根 ， ，则齐次方程的通解为 .
+
（2）若特征方程有一重根 ，则齐次方程的通解为 . 1
2
（3）若特征方程无实根，或者说有一对共轭复根 ，
，
则齐次方程的通解为
4. 二阶常系数线性非齐次方
程y 通解的求法
+ 2sin
).
（1）先写出与其对应的齐次方程 的通解
″ +
'+
= ( )
（2）再求出非齐次方程的特解 ，则该方程的通解为
″ +
'+
（3）特解 的求法 ∗ ∗
= + .
若 ∗ ，则方程的特解可设为 .
其中 与
是同次多项式，系数待定∗，且
( )=
( )e =
( )e
( )
( ) α不是特征根
为单独特征根.
0,
为二重特征根
2,
考点14：空解析几何
1. 平面方程
（1）平面的一般式方程
向量 叫做平面的法向量，即 垂直该平面 .
+
+
（2）平面的点法式方程
= , ,
过点 ，以 为法向量的平面方程
（3）两平面的位置关系
( − 0)+ ( − 0)+ ( − 0)=0.
设有两平面
：
： .
的充要条件是 .
1∥⊥ 2的充要条件是 1 2+ 1 .2+ 1 2 =0
1 1 1
2. 1空 间2直线方程 2 = 2 = 2
（1）直线的标准式方程
过点 且平行于向量 的直线方程为
0( 0, 0, 0，) 称之为直线的 标=准 式, 方, 程，这里 称之为直线的方向向量.
− 0 − 0 − 0
设直线 的方程为
： 1, 2 ， ： .
− 1 − 1 − 1 − 2 − 2 − 2
1 1 = 1 = 1 2 2 = 2 = 2
直线 平行 的充要条件为 .
1 1 1
直线 垂直 的充要条件为 .
3. 直线与平面的位置关系
，
− 0 − 0 − 0
: = = .
直线 与平面 平行的充要条件为 .
:
+
+
直线 与平面 垂直的充要条件为
+
+
4. 二 次曲面
= = .
12/12